Milagros de las Matemáticas: Sucesión de Fibonacci

En matemática, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 \ldots \,$

La sucesión inicia con

0

1

, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.

A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.

Definición formal

Los números de Fibonacci $f_0,f_1,f_2,f_3,\dots$ quedan definidos por las ecuaciones

$f_0=0\,$

$f_1=1\,$

$f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\,$ para $n = 2,3,4,5,\ldots$

Esto produce los números

$f_0 = 0\,$

$f_1 = 1\,$

$f_2 = 1\,$

$f_3 = 2\,$

$f_4 = 3\,$

$f_5 = 5\,$

$f_6 = 8\,$

Función generadora

Una función generadora para una sucesión cualquiera $a_0,a_1,a_2,\dots$ es la función $f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots$ , es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora